البرهان الرياضي في الرياضيات

البرهان عبارة عن إثبات ، يستند على بديهيات axiom معينة ، لعبارة رياضية أو علاقة رياضية بأنها صحيحة منطقيا حكما في ظل هذه المجموعة من البديهيات .
البرهان الرياضي إذا عبارة عن حجة argument أو تعليل منطقي ، ليس تجريبيا .
ضمن هذا التعريف فإن مقولة أو عبارة رياضية يجب أن تبرهن على صحتها في جميع الظروف و الحالات قبل أن يتم تبارها مبرهنة theorem رياضيا .
أما المقولة غير المبرهنة التي تلقى نوعا من الدعم التجريبي فتعرف بالحدسية conjecture .
افتراضيا في جميع فروع الرياضيات ، تكون البديهيات المفترضة هي بديهيات ZFC أي Zermelo – Fraenkel set theory
(و هي نظرية مجموعات زيرميلو- فرينكل مع بديهيات الاختيار) ما لم يشار إلى بديهيات مختلفة .
نظرية مجموعة زيرميلو- فرينكل تقوم بمشاكله formalize (أي تجعله شكليا formal )
الحدس الرياضي حول نظرية المجموعات ، و في نفس الوقت تقوم نظرية المجموعات بوصف الجبر و التحليل الرياضي .
للبرهان الرياضي عدة طرق :
البرهان المباشر، البرهان العكسي، البرهان بالتناقض، البرهان بالاختيار، البرهان بالاستقراء... الخ
مثلا البرهان المباشر
وتعتمد هذه الطريقة على الاقتناع بأن علاقة الاقتضاء متعدية
ونعني بذلك أنه إذا كان :
أ تقتضي ب ، ب تقتضي جـ فإن أ تقتضي جـ
مثال:
أثبت أنه إذا كان س = 3 فإن 2( 4 س + 5 ) – 1 = 33
البرهان
س = 3
تقتضي 4 س = 12
تقتضي 4س + 5 = 17
تقتضي 2 ( 4س + 5 ) = 34
تقتضي 2 ( 4س + 5 ) – 1 = 33
إقليدس، من أبرز العلماء والمفكّرين اليونانيين
الرياضيات علم مواضيعه مفاهيم مجرّدة والاصطلاحات الرّياضيّة تدلّ على الكمّ، والعدد يدلّ على كميّة المعدود والمقدار قابل للزيادة أو النّقصان
وعندما نستطيع قياس المقدار نطلق عليه اسم الكمّ.
لذلك عرّف بعض علماء الرياضيات بأنّه علم القياس. تعتبر الرّياضيات لغة العلوم إذ أنّ هذه العلوم لا تكتمل إلاّ عندما نحوّل نتائجها إلى معادلات ونحوّل ثوابتها إلى خطوط بيانيّة.
تعرف الرياضيات بأنها :
دراسة القياس والحساب والهندسة. هذا بالإضافة إلى المفاهيم الحديثة نسبيا منها البنية،الفضاء أو الفراغ، والتغير والأبعاد. وبشكل عام قد يعرفها البعض على أنها دراسة البني المجردة باستخدام المنطق والبراهين الرياضية والتدوين الرياضي.
وبشكل أكثر عمومية، قد تعرف الرياضيات أيضا على أنها دراسة الأعداد وأنماطها.
و لقد نشأت الرياضيات بقيام الإنسان بقياس ما يشاهده من ظواهر الطبيعة بناء على فطرة وخاصية في الإنسان ألا وهي اهتمامه بقياس كل ما حوله إلى جانب احتياجاته العملية
فهكذا كان هناك ضرورة لقياس قسمة (الطعام) بين أفراد العائلة وقياس الوقت والفصول والمحاصيل الزراعية تقسيم الأراضي وغنائم الحملات الحربية والمحاسبة للتمكن من الاتجار إلى جانب علم الملاحة بالنجوم في السفر والترحال للتجارة والاستكشاف والقياسات اللازمة لتشييد الأبنية والمدن.
و هكذا فإن البني الرياضية التي يدرسها الرياضيون غالبا ما يعود أصلها إلى العلوم الطبيعية، وخاصة علم الطبيعة،
ولكن الرياضيين يقومون بتعريف ودراسة بني أخرى لأغراض رياضية بحتة، لأن هذه البني قد توفر تعميما لحقول أخرى من الرياضيات مثلا، أو أن تكون عاملا مساعدا في حسابات معينة،
وأخيرا فإن الرياضيين قد يدرسون حقولا معينة من الرياضيات لتحمسهم لها، معتبرين أن الرياضيات هي فن وليس علما تطبيقيا.
فللرياضيات دور بارز في علوم المادّة (أي الفيزياء والكيمياء) وعلم الأحياء (البيولوجي)، فضلاً عن دوره المتميّز في العلوم الإنسانيّة.